Índice... 

Introdução                                                                                Pg.1

Espaço Amostral e Eventos                                                     Pg. 2

Eventos Complementares                                                        Pg.3

Eventos Independentes                                                            Pg.4

Probabilidade de um Evento ocorrer                                         Pg.5

Probabilidade da união de dois Eventos                                   Pg.6

Probabilidade Condicional                                                         Pg.7

Cálculo de Probabilidades                                                      Pgs. 8,9

Exercícios                                                                                  Pg.10

Resoluções                                                                                Pg.11

Aplicações                                                                                  Pg.12

História                                                                                       Pg.13

Bibliografia                                                                                  Pg.14

Espaço Amostral e Eventos...

    Em um experimento ou fenômeno aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis é chamado de Espaço Amostral (Ω).

    E qualquer subconjunto do Espaço amostral é chamado de Evento.

    Veja alguns exemplos:

    1º) Lançamento de um Dado e registro dos resultados.

    Conjunto de todos os resultados possíveis: {1, 2, 3, 4, 5,6}

    Um subconjunto dele é {1,3,5}, que pode ser identificado por “ocorrer número ímpar num lançamento de um dado”.

    -Espaço Amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}

    -Evento A: “ocorrer número ímpar no lançamento de um dado”. → A={1,3,5}

    2º) Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e registrar o seu naipe.

    Considerando C=copas, E=espadas, O=ouros e P=paus, temos:

    Conjunto de todos os resultados possíveis: {C, E, O, P}

    Um subconjunto dele é {O}, que pode ser identificado por “retirar uma carta cujo naipe seja ouros”.

    - Espaço Amostral: Ω = {C, E, O, P}

    - Evento A: “retirar uma carta cujo naipe seja ouros” → A = {O}

    Obs.: Quando um evento é formado apenas por um elemento do espaço amostral, ele é chamado evento elementar.

Eventos Complementares...

    Vamos imaginar a seguinte situação:

    Num lançamento de um dado, sabemos que o espaço amostral é composto de 6 eventos. Partindo desse lançamento, vamos considerar somente os eventos com valores das faces menores que 5, dados por 1, 2, 3, 4; totalizando 4 eventos. Nessa situação temos que o evento complementar é dado pelos números 6 e 5.

     Exemplo: No lançamento de um dado perfeito, qual é  a probabilidade de não sair o número 6.

      Probabilidade de não sair o número 6 = 1/6

      Calculamos: P= 1- 1     P= 6-1    P= 5

                                     6            6           6

      * Então, a probabilidade de não sair o número 6 é de 5/6.

Eventos Independentes...

 

   Dois eventos são independentes, quando o resultado de um não tem dependência do resultado de outro.

    Como por exemplo, temos o lançamento simultâneo de dois dados: o resultado do primeiro, não tem influência sobre o resultado do segundo e vice-versa. Dessa forma, se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles realizem-se, simultaneamente, é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.

    Assim, definindo P1 como a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 como a probabilidade do segundo evento. A probabilidade de que ambos realizem-se, simultaneamente é dada por: P=P1/ P2.

    

Probabilidade de um Evento Ocorrer...

    Vamos imaginar a seguinte situação: Os três irmãos Pedro, João e Luís foram brincar na rua. Supondo-se que as condições de retorno para casa são as mesmas para cada um deles, qual é a probabilidade de Luís voltar para casa primeiro?

     - Como 3 é o número total de irmãos , então Luís tem 1 chance em 3 de voltar para casa primeiro, por isto a probabilidade de Luís voltar para casa antes dos seus irmãos é igual a 1/3 (1 para 3).

    Então, a probabilidade de um evento ocorrer (no caso, Luís voltar para casa primeiro) considerando-se um espaço amostral (Pedro, João e Luís) é igual a razão do número de elementos do evento (1, apenas Luís) para o número de elementos do espaço amostral(3, o número de irmãos que foram brincar na rua), desde que o espaço amostral seja um conjunto equiprovável, ou seja, todos os seus elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer(as condições de retorno para casa são as mesmas para os três irmãos).

Probabilidade da União de Dois Eventos...

     Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S, a probabilidade de ocorrer
A ou B é dada por: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

      O número de elementos de A U B é igual a soma do número de elementos de A com o número de elementos de B, menos uma vez o número de elementos de A ∩ B que foi contado duas vezes(uma em A e outra em B).

      Exemplo:

     Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3?

      A é o evento múltiplo de 2.”

      B é o evento múltiplo de 3.”

    { P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) }

5     + 3  -  1  = 7  = 70%

10   10   10   10

Probabilidade Condicional...

    Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.

    Exemplo:

    - Uma urna, tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

    Resolução:

    Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:

    A: Vermelha na primeira retirada e P(A) =10/30

    B: Azul na segunda retirada e P(A) =20/29

    Assim, P(A e B) = P(A). (B/A) =10/30.20/29 = 20/28

·        Dado dois eventos A e B de um espaço amostral S a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)