Índice... 

Introdução                                                                                Pg.1

Espaço Amostral e Eventos                                                     Pg. 2

Eventos Complementares                                                        Pg.3

Eventos Independentes                                                            Pg.4

Probabilidade de um Evento ocorrer                                         Pg.5

Probabilidade da união de dois Eventos                                   Pg.6

Probabilidade Condicional                                                         Pg.7

Cálculo de Probabilidades                                                      Pgs. 8,9

Exercícios                                                                                  Pg.10

Resoluções                                                                                Pg.11

Aplicações                                                                                  Pg.12

História                                                                                       Pg.13

Bibliografia                                                                                  Pg.14

Espaço Amostral e Eventos...

    Em um experimento ou fenômeno aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis é chamado de Espaço Amostral (Ω).

    E qualquer subconjunto do Espaço amostral é chamado de Evento.

    Veja alguns exemplos:

    1º) Lançamento de um Dado e registro dos resultados.

    Conjunto de todos os resultados possíveis: {1, 2, 3, 4, 5,6}

    Um subconjunto dele é {1,3,5}, que pode ser identificado por “ocorrer número ímpar num lançamento de um dado”.

    -Espaço Amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}

    -Evento A: “ocorrer número ímpar no lançamento de um dado”. → A={1,3,5}

    2º) Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e registrar o seu naipe.

    Considerando C=copas, E=espadas, O=ouros e P=paus, temos:

    Conjunto de todos os resultados possíveis: {C, E, O, P}

    Um subconjunto dele é {O}, que pode ser identificado por “retirar uma carta cujo naipe seja ouros”.

    - Espaço Amostral: Ω = {C, E, O, P}

    - Evento A: “retirar uma carta cujo naipe seja ouros” → A = {O}

    Obs.: Quando um evento é formado apenas por um elemento do espaço amostral, ele é chamado evento elementar.

Eventos Complementares...

    Vamos imaginar a seguinte situação:

    Num lançamento de um dado, sabemos que o espaço amostral é composto de 6 eventos. Partindo desse lançamento, vamos considerar somente os eventos com valores das faces menores que 5, dados por 1, 2, 3, 4; totalizando 4 eventos. Nessa situação temos que o evento complementar é dado pelos números 6 e 5.

     Exemplo: No lançamento de um dado perfeito, qual é  a probabilidade de não sair o número 6.

      Probabilidade de não sair o número 6 = 1/6

      Calculamos: P= 1- 1     P= 6-1    P= 5

                                     6            6           6

      * Então, a probabilidade de não sair o número 6 é de 5/6.

Eventos Independentes...

 

   Dois eventos são independentes, quando o resultado de um não tem dependência do resultado de outro.

    Como por exemplo, temos o lançamento simultâneo de dois dados: o resultado do primeiro, não tem influência sobre o resultado do segundo e vice-versa. Dessa forma, se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles realizem-se, simultaneamente, é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.

    Assim, definindo P1 como a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 como a probabilidade do segundo evento. A probabilidade de que ambos realizem-se, simultaneamente é dada por: P=P1/ P2.

    

Probabilidade de um Evento Ocorrer...

    Vamos imaginar a seguinte situação: Os três irmãos Pedro, João e Luís foram brincar na rua. Supondo-se que as condições de retorno para casa são as mesmas para cada um deles, qual é a probabilidade de Luís voltar para casa primeiro?

     - Como 3 é o número total de irmãos , então Luís tem 1 chance em 3 de voltar para casa primeiro, por isto a probabilidade de Luís voltar para casa antes dos seus irmãos é igual a 1/3 (1 para 3).

    Então, a probabilidade de um evento ocorrer (no caso, Luís voltar para casa primeiro) considerando-se um espaço amostral (Pedro, João e Luís) é igual a razão do número de elementos do evento (1, apenas Luís) para o número de elementos do espaço amostral(3, o número de irmãos que foram brincar na rua), desde que o espaço amostral seja um conjunto equiprovável, ou seja, todos os seus elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer(as condições de retorno para casa são as mesmas para os três irmãos).

Probabilidade da União de Dois Eventos...

     Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S, a probabilidade de ocorrer
A ou B é dada por: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

      O número de elementos de A U B é igual a soma do número de elementos de A com o número de elementos de B, menos uma vez o número de elementos de A ∩ B que foi contado duas vezes(uma em A e outra em B).

      Exemplo:

     Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3?

      A é o evento múltiplo de 2.”

      B é o evento múltiplo de 3.”

    { P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) }

5     + 3  -  1  = 7  = 70%

10   10   10   10

Probabilidade Condicional...

    Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.

    Exemplo:

    - Uma urna, tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

    Resolução:

    Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:

    A: Vermelha na primeira retirada e P(A) =10/30

    B: Azul na segunda retirada e P(A) =20/29

    Assim, P(A e B) = P(A). (B/A) =10/30.20/29 = 20/28

·        Dado dois eventos A e B de um espaço amostral S a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Cálculo de Probabilidades...

   Normalmente, representamos probabilidade através de frações (razão), mas também podemos representá-la por números decimais, ou até mesmo por porcentagens.

    Quando, num fenômeno aleatório, com espaço amostral finito, consideramos que todo evento elementar tem a mesma “chance” de ocorrer, a probabilidade de ocorrer em evento A, é indicado por p(A), e um número que mede essa chance é dado por:                p(A) = número de resultados favoráveis.

           número total de resultados possíveis

    Há muitas maneiras de se calcular Probabilidade. Vamos começar pela chamada Arvore das Possibilidades. Que nada mais é do que um esquema para representar o total de possibilidades de certo problema.

    Exemplo: Uma fábrica, ao ser instalada em certo país, iniciou suas atividades produzindo 3 tipos de automóveis: Carros, Caminhonetes e Vans. Esses automóveis eram produzidos em 2 cores diferentes, branca ou preta. Estabeleça o número de configurações possíveis de automóveis produzidos por essa fábrica.

   

Contagem

Usando o exemplo acima, vimos que nessa linha de produção teríamos o total de 6 alternativas de automóveis (3 . 2) . Conforme o esquema:     Veículos Cores

                                                    3 . 2

    Fatorial

Quando pensamos em Probabilidade, fatorial nos auxilia para calculá-la... Fatorial é o produto de todos os números naturais, desde n até 1(n>1). Indicamos o fatorial de n por n!

Exemplo: 0! = 1

                1! = 1

                2! = 2

                3! = 3.2.1 = 6

                ...

                5! = 5.4.3.2.1 = 120

    Arranjos

Arranjos simples de n elementos tomados de p a p(p≤n) são diferentes agrupamentos que se podem formar com p dos n elementos dados. Indica-se por Na,p o total desse agrupamento que calculamos assim:

    Permutação

Permutação simples de n elementos distintos é qualquer agrupamento desses n elementos.

Exemplo: P  = 3! = 3.2.1 = 6  ou P  + P  =3!+5!  6+120 126  21

                                                     2. P   

    Combinação

Um agrupamento, em que não se importa a ordem dos elementos, é chamado de combinações simples. Onde n elementos, tomados de p a p a qualquer agrupamento de p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados, e que define entre si apenas pela natureza de seus elementos. Fórmula: Cn, p =    n!            Ex. C    = 4!              4.3.2!  12 =6

                            p!(n-p)!                       2!(4-2)!     2!. 2!    2

Exercícios...

1)Com os algarismos 0,1,3 e 5 achar quantos números de 3 algarismos podemos formar.

2)Em um sistema de senhas de uma empresa de segurança, as senhas são iniciadas com 2 vogais seguidas de 3 dígitos. Achar o número máximo de senhas que pode ser produzido por esse sistema.

3)Quantos são os anagramas da palavra SATURNO?

*Anagramas: São palavras obtidas a partir de uma outra, quando se trocam as posições de suas letras, não importando se essas palavras tenham sentido ou não.

4)Lançando uma moeda para o alto, obtemos na face superior, quando ela cai, cara ou coroa. Construa a árvore de possibilidades e diga quantos resultados podem ser obtidos ao lançarmos uma moeda 2 vezes.

5)Quantos arranjos simples de 12 elementos tomados de 4 a 4 existem?

6)Calcule:

a. P

b. P

    P

c. 0! + 1! + 4!

d. (5! + 6!) : 4!

Resoluções...

1)   Centena Dezena Unidade

               3.       4     . 4              = 48 Possibilidades

“135   153   103   130   150   105   155   133   100   111   113  115  131   101   151   110 / 301   303   305   310  313   315   330   331   333   335   350   351   353   355   300 311 / 501   503   505   513   515   510   531   530   535   550   551   553   555   553   511   500 “

2)   Vog. Vog. Dig. Dig. Dig.

         5.  5    .10   .10  .10 = 25.000 Possibilidades

3)   S A T U R N O

7 .6.5. 4. 3. 2. 1  = 7! = 5040

   

      5) A       = 12.11.10.9 = 11.880

      6) a. P  = 6! = 6.5.4.3.2.1= 720

            b. P  = 8!  = 40.320  = 20.160

                P     2!           2    

            c. 0!+1!+4! = 1+1+24 = 26

            d. 5!+6! = 120+720  = 840  = 35

                    4!           24           24

Aplicações...

    Durante o processo de pesquisa e conclusão do trabalho, notamos que a Matemática está diariamente presente em nossas vidas. E a Teoria das Probabilidades ainda mais presente...

    

     Quando jogamos um simples jogo de tabuleiro, utilizamos à probabilidade na hora de jogar os dados. Quando estamos, por exemplo, num restaurante e há uma infinidade de opções e pratos para se escolher, temos muitas combinações diferentes. Quando não sabemos que roupa vestir, e abrimos o armário e encontramos algumas peças, com as quais poderemos fazer muitas combinações. Quando perdemos o número de alguém e temos urgência em falar com a pessoa, podemos fazer combinações com os números para que tenhamos a probabilidade de encontrar o número correto.

       Enfim, a Probabilidade está realmente bem presente em nossa vida; em nosso cotidiano seria muito mais proveitável se soubéssemos calcular essas possibilidades, para que assim nosso dia-a-dia se torne mais fácil...

        Bom, agora que já sabemos calcular as Probabilidades que nos rodeiam... Que tal aplicá-las?? 

Um pouco da História...

    A teoria das probabilidades como conhecemos hoje, teve seu início nos jogos de azar. Girolamo Cardano (1.501-1.576) e Galileu Galilei (1.564-1.642) estão entre os primeiros matemáticos a analisar, matematicamente, os jogos dos dados.

     Depois disso, Blaise Pascal (1.623-1.662), consultado por um amigo que era jogador fanático, Chevalier de Méré, sobre questões do jogo de dados, manteve correspondência com Pierre de Fermat (1.601-1.665).Dessa correspondência entre Pascal e Fermat e de suas pesquisas observando vários situações de jogos de azar é que evoluiu a teoria das probabilidades.

     Outros matemáticos que se dedicaram, direta ou indiretamente, ao estudo das probabilidades foram: o holandês Christian Huygens (1.629-1.695), ao qual é atribuído o primeiro livro sobre probabilidades; Abraham de Moivre (1.667-1.754), francês que viveu na Inglaterra na época de Newton e Halley e escreveu, em 1.718, a Doutrina das probabilidades; e Jacob Bernouilli (1654-1705).

     Mais tarde, Leonhard Euler (1.707-1.783) e Jean-Baptiste D’Alembert (1.717-1.783) desenvolveram outros estudos sobre probabilidades, aplicando-os à Economia, às Ciências Sociais e a loterias. Segundo Carl Boyer, “entre os problemas de loteria que Euller publicou em 1.765, o mais simples é o seguinte: suponha que n bilhetes são numerados consecutivamente de 1 a n e que três bilhetes são tirados ao acaso; então a probabilidade de que três números consecutivos sejam tirados é 2.3    “

                                               n(n-1)

     Ainda segundo Boyer, “a teoria das probabilidades deve mais a Laplace (1.749-1.827) que a qualquer outro matemático. A partir de 1.774 ele escreveu muitos artigos sobre o assunto, cujos resultados ele incorporou no clássico Théorie analytique dês probabilités de 1.812. Ele considerou a teoria em todos os aspectos e em todos os níveis.”.

           Atualmente, a teoria das probabilidades é muito usada na teoria dos jogos, em Estatística, em Biologia, em Psicologia, em Sociologia, em Economia e em pesquisa operacional.

    

Bibliografia...

Sites:

Brasil Escola.

Só Matemática.

 Mundo Educação.  

Livros:

Matemática Dante.

Editora: Ática.

(Págs. 299 a 314) Capitulo 25

   

  

 Grupo:    Dener Martins,           N°02

                 Guilherme Cabral,    N° 04

                Camila Paschoal,     N°13

                Juliana Alves,           N°20

                Tamires Shiroma.    N°30

      Série: 2ºC

     Professora: Heloísa.            ANO: 2012